اتحادهای ریاضی پایه نهم

1) مربع مجموع

زمانی استفاده می‌شود که دو جمله با هم جمع شده و به توان ۲ برسند
(a + b)² = a² + 2ab + b²
مثال: (x + 3)² = x² + 6x + 9

در این اتحاد، جمله وسط همیشه مثبت است و کمک می‌کند بدون ضرب طولانی پرانتزها، به راحتی بسط بدهیم

2) مربع تفاضل

وقتی دو جمله از هم کم شوند و به توان ۲ برسند
(a - b)² = a² - 2ab + b²
مثال: (2y - 5)² = 4y² - 20y + 25

تفاوت آن با مربع مجموع در علامت جمله وسط است: جمله وسط منفی می‌شود

3) جمله مشترک

وقتی دو پرانتز یک جمله مشترک دارند
(a + b)(a + c) = a² + a(b + c) + bc
مثال: (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10

ابتدا مربع جمله مشترک را می‌نویسیم، سپس جمله مشترک را در مجموع دو جمله دیگر ضرب کرده و در آخر دو جمله غیرمشترک را در هم ضرب می‌کنیم

4) مزدوج (تفاضل دو مربع)

وقتی دو پرانتز مشابه ولی با علامت مخالف داریم
(a + b)(a - b) = a² - b²
مثال: (x + 4)(x - 4) = x² - 16

جمله وسط حذف می‌شود و نتیجه فقط تفاضل دو مربع است، بنابراین سریع و راحت محاسبه می‌شود

5) مجموع مکعب‌ها

اگر جمع دو جمله به توان ۳ برسد
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
مثال: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

این اتحاد کمک می‌کند تا بدون ضرب طولانی، توان ۳ را بسط دهیم و به راحتی جمع جملات را محاسبه کنیم

6) تفاضل مکعب‌ها

وقتی تفاضل دو جمله به توان ۳ برسد
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
مثال: (2y - 1)³ = 8y³ - 12y² + 6y - 1

جمله وسط مثبت و منفی در جای مناسب ظاهر می‌شود و بسط سریع انجام می‌شود

7) جمع دو مکعب

برای تجزیه جمع مکعب‌ها استفاده می‌شود
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
مثال: x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)

8) تفاضل دو مکعب

برای تجزیه تفاضل مکعب‌ها
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
مثال: y³ - 27 = (y - 3)(y² + 3y + 9)